Чтобы найти площадь прямоугольника нужно. Как посчитать площадь
Определение.
Прямоугольник - это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника , а короткую - шириной прямоугольника .
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d 2 = 2a 2 + 2b 2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
| AO = BO = CO = DO = | d | ||
| 2 |
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d 2 - b 2
b = √d 2 - a 2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
| b = d cos | β |
| 2 |
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a 2 + b 2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = D о
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S: sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b )
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d 2 - a 2 ) = 2(b + √d 2 - b 2 )
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R 2 - a 2 ) = 2(b + √4R 2 - b 2 )
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √D o 2 - a 2 ) = 2(b + √D o 2 - b 2 )
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a √4R 2 - a 2 = b √4R 2 - b 2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a √D o 2 - a 2 = b √D o 2 - b 2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
Что такое площадь и что такое прямоугольник
Площадь – это такая геометрическая величина, с помощью которой можно определить размер какой-либо поверхности геометрической фигуры.
На протяжении многих веков так повелось, что вычисление площади называли квадратурой. То есть, чтобы узнать площадь несложных геометрических фигур, достаточно было подсчитать количество единичных квадратов, которыми условно были покрыты фигуры. А фигуру, которая имела площадь, называли квадрируемой.
Поэтому, можно подвести итог, что площадь – это такая величина, которая показывает нам размер части плоскости, соединенной между собой отрезками.
Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого все углы прямые. То есть, четырехстороннюю фигуру, которая имеет четыре прямых угла и ее противоположные стороны равны, называют прямоугольником.
Как найти площадь прямоугольника
Самый простой способ нахождения площади прямоугольника – взять прозрачную бумагу, например кальку, или клеенку и расчертить ее на равные квадратики по 1 см, а потом приложить к изображению прямоугольника. Количество заполненных квадратиков и будет площадью в сантиметрах квадратных. Например, на рисунке видно, что прямоугольник попадает в 12 квадратов, значит, его площадь равна – 12 кв. см.
Но для нахождения площади больших объектов, например квартиры, необходим более универсальный способ, поэтому была доказана формула, чтобы найди площадь прямоугольника необходимо умножить его длину на ширину.
А теперь давайте попробуем записать правило нахождения площади прямоугольника в виде формулы. Обозначим площадь нашей фигуры буквой S, буква а – будет обозначать его длину, а буква b – ширину.
В итоге получаем вот такую формулу:
S = а * b.
Если наложить эту формулу на рисунок прямоугольника выше, то мы получим те же 12 кв.см, т.к. а = 4 см, b = 3 см, а S = 4 * 3 = 12 кв.см.
Если взять две идентичные фигуры, и наложить их одну на другую, то они совпадут, а будут называться равными. У таких равных фигур будут также равны их площади и периметры.
Зачем уметь находить площадь
Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-либо фигуры, то с помощью ее формулы вы без проблем сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачки, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписаны в прямоугольник или около него.
В-третьих, зная такую простую формулу, как S = а * b, вы получаете возможность без проблем решать любые простые бытовые задачи (например, находить S квартиры или дома), а со временем и сможете применить их к решению сложных архитектурных проектов.
То есть, если совсем упростить формулу нахождения площади, то она будет выглядеть так:
П = Д х Ш,
Что обозначает П – это искомая площадь, Д – это ее длина, Ш – обозначает ее ширину, а х – является знаком умножения.
А известно ли вам, что площадь любого многоугольника можно условно разбить на определенное количество квадратных блоков, которые находятся внутри этого многоугольника? Какая разница между площадью и периметром
Давайте на примере попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огражден забором – суммарная длина этого забора будет периметром, а то пространство, которое находится внутри ограждения и является площадью.
Единицы измерения площади
Если периметр одномерный измеряется в линейных единицах, которыми являются дюймы, футы и метры, то S относится к двумерным исчислениям и имеет свою длину и ширину.
И измеряется S в квадратных единицах, таких, как:
Один квадратный миллиметр, где S квадрата имеет сторону, равную одному миллиметру;
Квадратный сантиметр, имеет S такого квадрата, у которого сторона равна одному сантиметру;
Квадратный дециметр равен S этого квадрата со стороной в один дециметр;
Квадратный метр имеет S квадрата, сторона которого равна одному метру;
И наконец, квадратный километр имеет S квадрата, сторона которого равна одному километру.
Для измерения площадей больших участков на поверхности Земли используют такие единицы, как:
Один ар или сотка – если S квадрата имеет сторону десять метров;
Один гектар равен S квадрата, у которого сторона имеет сто метров.
Задачи и упражнения
А теперь давайте рассмотрим несколько примеров.
На рисунке 62 нарисована фигура, которая имеет восемь квадратов и каждая сторона этих квадратов равна одному сантиметру. Поэтому S такого квадрата будет квадратный сантиметр.
Если записать, то это будет выглядеть так:
1 см2. А S все этой фигуры, состоящей из восьми квадратов, будет равняться 8 кв.см.
Если взять какую-нибудь фигуру и разбить ее на «р» квадратов со стороной, равной одному сантиметру, то ее площадь будет равна:
Р см2.
Давайте рассмотрим прямоугольник, изображений на рисунке 63. Этот прямоугольник состоит из трех полос, а каждая такая полоска разбита на пять равных квадратов, имеющих сторону в 1 см.
Попробуем найти его площадь. И так берем пять квадратов, и умножаем на три полоски и получаем площадь равную 15 кв.см.:
Рассмотрим следующий пример. На рисунке 64 изображен прямоугольник ABCD, ломаной линией KLMN он разбит на две части. Первая его часть равна площади 12 см2, а вторая имеет площадь 9 см2. Теперь давайте найдем площадь всего прямоугольника:
Итак, берем три и умножаем на семь и получаем 21 кв.см:
3 7 = 21 кв.см. При этом 21 = 12 + 9.
И приходим к выводу, что площадь всей нашей фигуры равна сумме площадей ее отдельных частей.
Рассмотрим еще один пример. И так на рисунке 65 изображен прямоугольник, который с помощью отрезка АС разбит на два равных треугольника ABC и ADC
А так, как нам уже известно, что квадрат – это такой же прямоугольник, только имеющий равные стороны, то площадь каждого треугольника будет равняться половине площади всего прямоугольника.
Представим, что сторона квадрата равна а, то:
S = a a = a2.
Делаем вывод, что формула площади квадрата будет иметь такой вид:
А запись a2 называется квадратом числа а.
И так, если сторона нашего квадрата равна четырем сантиметрам, то его площадь будет:
4 4, то есть 4 * 2 = 16 кв.см.
Вопросы и задания
Найдите площадь фигуры, которая разбита на шестнадцать квадратов, сторона которых равна одному сантиметру.
Вспомните формулу прямоугольника и запишите ее.
Какие измерения нужно произвести, чтобы узнать площадь прямоугольника?
Дайте определение равным фигурам.
Могут ли иметь равные фигуры различные площади? А периметры?
Если вам известны площади отдельных частей фигуры, как узнать ее общую площадь?
Сформулируйте и запишите, чему равняется площадь квадрата.
Историческая справка
А известно ли вам, что древние люди в Вавилоне умели рассчитать площадь прямоугольника. Так же древние египтяне делали расчеты различных фигур, но так как точных формул они не знали, то вычисления имели небольшие погрешности.
В своей книге «Начала» знаменитый древнегреческий математик Евклид, описывает различные способы вычисления площадей разных геометрических фигур.
Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь прямоугольника .
Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления площади прямоугольника, вы получите детальное пошаговое решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения таких задач и закрепить пройденный материал.
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади прямоугольника
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения!
Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади прямоугольника
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "вправо" и "влево" на клавиатуре.
где S — площадь прямоугольника,
a — длина первой стороны,
b — длина второй стороны.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, .). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Копирование материалов запрещено.
Добро пожаловать на OnlineMSchool .
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами
Вычисляет площадь неправильного четырехугольника с известными длинами сторон
С завидным упорством некоторые пользователи Planetcalc оставляют запросы на создание калькулятора для расчета площади неправильного четырехугольника, для которого известны только длины сторон.
Площадь участка сложной формы
Подумалось, что остановить их можно только написав вот такой шуточный калькулятор. (Нажмите кнопку «Остановить» для определения площади понравившегося Вам четырехугольника с заданными Вами сторонами).
Длина стороны A
Длина стороны B
Длина стороны C
Длина стороны D
Площадь неправильного четырехугольника, зная только длины сторон, вычислить нельзя. Надеюсь, эта демонстрация поможет понять это всем, кто просил создать для этого калькулятор.
Зачем нужно знать площадь пола
Определение площади прямоугольного помещения
Расчет площади комнаты неправильной планировки
Узнаём площадь треугольного помещения
Как рассчитать площадь стен комнаты
Пропорции между площадью пола и окон
Невозможно проводить ремонт напольной поверхности, не зная точную площадь пола в частном домовладении или квартире. Дело в том, что сегодня стоимость строительных материалов достаточно высокая, и каждый владелец недвижимости старается максимально сэкономить на их покупке. Поэтому информация, как рассчитать площадь пола, не будет лишней для того, кто предпочитает делать ремонт собственноручно.
Зачем нужно знать площадь пола
Прежде чем приступить к работе, следует определиться с объемом мероприятий, запланировать затраты и рассчитать количество стройматериалов. Для этого нужны будут исходные данные. По этой причине важно знать, как посчитать площадь пола безошибочно. Особенно это касается неровных поверхностей и помещений, имеющих нестандартную планировку.
Встречаются и другие причины, когда имеется потребность точно определить размеры поверхности пола:
- проверка качества выполнения строительных работ;
- необходимость проведения перепланировки помещения.
Определение площади прямоугольного помещения
До того, как высчитать площадь пола, следует запастись калькулятором и измерительной рулеткой. Чаще всего встречаются комнаты в форме прямоугольника. Для вычисления их площади пользуются формулой, известной всем со школы: S = a х b, где a и b – длина и ширина. Например, у помещения параметры 3 и 4 метра, тогда искомая величина составит 12 кв. м.
В том случае, когда в комнате имеется камин или встроенные предметы мебели, тогда нужно узнать их площадь и вычесть из общей площади. В случае проведения капитального ремонта пола, все лишнее в помещении придется демонтировать.
Расчет площади комнаты неправильной планировки
Намного труднее вычислить площадь комнаты, имеющей многоугольную форму. Часто в кирпичных домах в планировке присутствуют ниши, треугольные углубления и округлые элементы, как на фото.
В данном случае, прежде, как посчитать квадратуру пола, схему помещения надо разбить на отдельные зоны. Например, если комната имеет Г-образную планировку, ее следует поделить на 2 прямоугольника, после чего подсчитать площадь каждого из них и полученные результаты сложить.
Узнаём площадь треугольного помещения
Когда другая часть комнаты располагается не перпендикулярно относительно основной площади, это означает, что между двумя прямоугольниками присутствует еще и треугольник, имеющий прямой угол.
В данном случае площадь треугольника вычисляют по формуле: S = (a х b):2 и прибавляют к общему итогу. Например, а = 2, b = 3, тогда S = (2х3): 2 =3 м².
Можно иначе определить площадь:
- Прежде вычисляют квадрату прямоугольника.
- Определяют площадь скошенного треугольного угла.
- Из квадратуры прямоугольника вычитают площадь треугольника.
В том случае, когда треугольник не имеет прямого угла, тогда используют формулу Герона S = √p(p — a)(p — b)(p — c).
Например, стороны его равны 5, 6 и 7 метров, тогда вычисления производят следующим образом:
- Узнают полупериметр треугольника p = (5+6+7):2 = 9.
- В формулу Герона подставляют цифровые значения и получают результат: √(9 х(9-7) х(9-6)х(9-5) =14,7 м².
Квадратура помещений округлой формы
Нередко подобная форма присутствует у окон в домах старой постройки или на балконах, которые совмещены с комнатами. Сначала вычисляют 1/2 выступающей части окружности и добавляют к площади прямоугольника, применяя формулу S = πR²:2, в которой:
R² – радиус круга, возведенный в квадрат.
Например, в комнате имеется выступающий балкон полукруглой формы с радиусом 1,5 метра. Подставив данное число в формулу, получаем результат: S = 3,14х(1,5)²: 2 =3,5 м². Читайте также: "Как посчитать квадратные метры пола при разной форме комнат".
Как рассчитать площадь стен комнаты
Порядок вычисления площади стенок и пола отличается. Дело в том, что до того, как рассчитать квадратуру пола, следует узнать длину и ширину помещения, а для расчета стен потребуется измерить его высоту. Поэтому сначала узнают периметр комнаты и умножают на высоту потолков.
Например, параметры пола 3 и 4 метра, а высота помещения равна 3 метрам. В этом случае периметр стен будет равен (3 + 4) х2 = 14 м., а их площадь S = 14х3 = 42 м².
При этом не следует забывать про квадратуру проемов окон и дверей. Их площадь вычитают после завершения расчетов стен. Но с другой стороны их можно не принимать во внимание и тем самым обеспечить некоторый запас материалов.
Пропорции между площадью пола и окон
Согласно СНиП 31-01-2003 параметры окон и их количество должны зависеть от квадратуры пола. Так для жилых многоквартирных построек соотношение между площадями оконных проемов и напольной поверхности будет составлять, начиная от 1:5,5 до 1:8. Что касается верхних этажей, то там допускается минимальная пропорция 1:10.
Для частных домовладений эту норму регламентирует СНиП 31-02-2001.
Как вычислить площадь прямоугольника с разными сторонами
Согласно данной документации, на каждые 8 «квадратов» поверхности пола приходиться должно не менее одного «квадрата» источника естественного светового потока. На мансардных этажах эта пропорция не может быть менее 1:10.
Чтобы обеспечить качественное проведение ремонта нужно заранее выяснить, как вычислить площадь пола и другие необходимые размеры помещения. Подготовительный этап также предусматривает приобретение стройматериалов и тогда в процессе ремонта затраты будут сведены к минимуму, поскольку не получится больших остатков и стоимость доставки обойдется недорого.
Ручной способ вычислений как узнать площадь пола займет больше времени, чем при проведении расчетов на уже имеющемся строительном калькуляторе, но он позволяет узнать более точные результаты.
Как рассчитать площадь прямоугольника
Формулы площади
Площадь геометрической фигуры — часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.
Формулы площади треугольника
1-ая формула
S — площадь треугольника
a, b — длины 2-х сторон треугольника
С — угол между сторонами a и b
2-ая формула
S — площадь треугольника
a — длина стороны треугольника
h — длина высоты, опущенной на сторону a
3-ья формула
S — площадь треугольника
a, b, c
p — полупериметр треугольника
4-ая формула
S — площадь треугольника
r — радиус вписанной окружности
p — полупериметр треугольника
5-ая формула
S — площадь треугольника
a, b, c — длины 3-х сторон треугольника
R — радиус описанной окружности
См. также: Программа для расчета площади треугольника.
Формулы площади квадрата:
1) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (a).
2) Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d).
S — площадь квадрата
a — длина стороны квадрата
d — длина диагонали квадрата
См. также: Программа для расчета площади квадрата.
Формула площади прямоугольника:
1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).
S — площадь прямоугольника
a — длина 1-ой стороны прямоугольника
b — длина 2-ой стороны прямоугольника
См. также: Программа для расчета площади прямоугольника.
Формула площади параллелограмма:
1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).
S — площадь параллелограмма
a — длина основания
h — длина высоты
См. также: Программа для расчета площади параллелограмма.
Формула площади трапеции:
1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).
S — площадь трапеции
a — длина 1-ого основания
b — длина 2-ого основания
h — длина высоты трапеции
Калькулятор расчета площади земельного участка неправильной формы с разными сторонами
также: Программа для расчета площади трапеции.
Формулы площади ромба:
1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).
2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
S — площадь ромба
a — длина основания ромба
h — длина высоты ромба
d1 — длина 1-ой диагонали
d2 — длина 2-ой диагонали
См. также: Программа для расчета площади ромба.
Формула площади круга:
1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).
2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.
S — площадь круга
π — число пи (3.1415)
r — радиус круга
См. также: Программа для расчета площади круга.
Формула площади эллипса:
1) Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи (3.1415).
S — площадь эллипса
π — число пи (3.1415)
a — длина большой полуоси
b — длина малой полуоси
См. также: Программа для расчета площади эллипса.
Онлайн калькулятор. Площадь прямоугольника
Коротко о главном Начальный уровень
Площадь фигур на клетчатой бумаге. Начальный уровень.
Алгоритм нахождения площади фигур на клетчатой бумаге:
- Из площадипрямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.
Как находить площадь фигур на клетчатой бумаге:
Способ 1: (удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.)
- Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади.
- Подставить найденные значения в уравнение площади.
Способ 2: (очень удобен для сложных фигур, но и для простых неплох)
- Достроить искомую фигуру до прямоугольника.
- Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.
- Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.
Проиллюстрируем первый способ.
Пусть нужно найти площадь такой вот трапеции, построенной на листе в клетку
Просто считаем клеточки и видим, что в нашем случае, и. Подставляем в формулу:
Вроде бы даже прямоугольный и, но чему тут равно, и чему равно? Как узнать? Применим для полной ясности оба способа
I способ.
Подставляем в формулу:
II способ (скажу по секрету - этот способ лучше).
Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:
Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку! Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.
Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для самых хитрых фигур. Вот смотри, нужно посчитать площадь такой фигуры:
Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.
А теперь чтобы найти площадь просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге.
(обрати внимание, площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле).
Вот и ответ: .
Ну как тебе этот способ? Старайся применять его всегда, и сможешь без труда найти площадь фигур на клетчатой бумаге!
Мы уже по-зна-ко-ми-лись с по-ня-ти-ем пло-щадь фи-гу-ры , узна-ли одну из еди-ниц из-ме-ре-ния пло-ща-ди - квад-рат-ный сан-ти-метр . На уроке мы вы-ве-дем пра-ви-ло, как вы-чис-лить пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка.
Мы уже умеем на-хо-дить пло-щадь фигур, ко-то-рые раз-де-ле-ны на квад-рат-ные сан-ти-мет-ры.
На-при-мер:
Мы можем опре-де-лить, что пло-щадь пер-вой фи-гу-ры 8 см2, пло-щадь вто-рой фи-гу-ры 7 см2.
Как найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, длины сто-рон ко-то-ро-го 3 см и 4 см?
Для ре-ше-ния за-да-чи разо-бьём пря-мо-уголь-ник на 4 по-лос-ки по 3 см2 каж-дая.
Тогда пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка будет равна 3*4=12 см2.
Этот же пря-мо-уголь-ник можно раз-бить на 3 по-лос-ки по 4 см2.
Тогда пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка будет равна 4*3=12 см2.
В обоих слу-ча-ях для на-хож-де-ния пло-ща-ди пря-мо-уголь-ни-ка пе-ре-мно-жа-ют-ся числа, вы-ра-жа-ю-щие длины сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка.
Най-дем пло-щадь каж-до-го пря-мо-уголь-ни-ка.
Рас-смот-рим пря-мо-уголь-ник АКМО.
В одной по-лос-ке 6 см2, а таких по-ло-сок в этом пря-мо-уголь-ни-ке 2. Зна-чит, мы можем вы-пол-нить сле-ду-ю-щее дей-ствие:
Число 6 обо-зна-ча-ет длину пря-мо-уголь-ни-ка, а 2 - ши-ри-ну пря-мо-уголь-ни-ка. Таким об-ра-зом, мы пе-ре-мно-жи-ли сто-ро-ны пря-мо-уголь-ни-ка для того, чтобы найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка.
Рас-смот-рим пря-мо-уголь-ник KDCO.
В пря-мо-уголь-ни-ке KDCO в одной по-лос-ке 2см2, а таких по-ло-сок 3. Сле-до-ва-тель-но, мы можем вы-пол-нить дей-ствие
Число 3 обо-зна-ча-ет длину пря-мо-уголь-ни-ка, а 2 - ши-ри-ну пря-мо-уголь-ни-ка. Мы их пе-ре-мно-жи-ли и узна-ли пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка.
Можно сде-лать вывод: чтобы найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, не надо каж-дый раз раз-би-вать фи-гу-ру на квад-рат-ные сан-ти-мет-ры.
Чтобы вы-чис-лить пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, нужно найти его длину и ши-ри-ну (длины сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка долж-ны быть вы-ра-же-ны в одних и тех же еди-ни-цах из-ме-ре-ния), а потом вы-чис-лить про-из-ве-де-ние по-лу-чен-ных чисел (пло-щадь будет вы-ра-же-на в со-от-вет-ству-ю-щих еди-ни-цах пло-ща-ди)
Обоб-щим: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка равна про-из-ве-де-нию его длины и ши-ри-ны.
Ре-ши-те за-да-чу.
Вы-чис-ли пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка, если длина пря-мо-уголь-ни-ка 9см, а ши-ри-на - 2см.
Рас-суж-да-ем так. В дан-ной за-да-че из-вест-ны и длина и ши-ри-на пря-мо-уголь-ни-ка. По-это-му дей-ству-ем по пра-ви-лу: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка равна про-из-ве-де-нию его длины и ши-ри-ны.
За-пи-шем ре-ше-ние.
Ответ: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка 18см2
Как вы ду-ма-е-те, ка-ки-ми ещё могут быть длины сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка с такой пло-ща-дью?
Можно рас-суж-дать так. По-сколь-ку пло-щадь - это про-из-ве-де-ние длин сто-рон пря-мо-уголь-ни-ка, по-это-му надо вспом-нить таб-ли-цу умно-же-ния. При умно-же-нии каких чисел по-лу-ча-ет-ся ответ 18?
Пра-виль-но, при умно-же-нии 6 и 3 тоже по-лу-чит-ся 18. Зна-чит, у пря-мо-уголь-ни-ка могут быть сто-ро-ны 6см и 3 см и его пло-щадь тоже будет равна 18см2.
Ре-ши-те за-да-чу.
Длина пря-мо-уголь-ни-ка 8см, а ши-ри-на 2см. Найди его пло-щадь и пе-ри-метр.
Нам из-вест-ны длина и ши-ри-на пря-мо-уголь-ни-ка. Необ-хо-ди-мо вспом-нить, что для на-хож-де-ния пло-ща-ди необ-хо-ди-мо найти про-из-ве-де-ние его длины и ши-ри-ны, а для на-хож-де-ния пе-ри-мет-ра нужно сумму длины и ши-ри-ны умно-жить на два.
За-пи-шем ре-ше-ние.
Ответ: пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка 16 см2, а пе-ри-метр пря-мо-уголь-ни-ка 20 см.
Ре-ши-те за-да-чу.
Длина пря-мо-уголь-ни-ка 4см, а ши-ри-на - 3см. Чему равна пло-щадь тре-уголь-ни-ка? (смот-ри ри-су-нок)
Чтобы от-ве-тить на во-прос за-да-чи, сна-ча-ла надо найти пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка. Мы знаем, что для этого необ-хо-ди-мо длину умно-жить на ши-ри-ну.
По-смот-ри-те на чер-тёж. Вы за-ме-ти-ли, диа-го-наль раз-де-ли-ла пря-мо-уголь-ник на два рав-ных тре-уголь-ни-ка? Сле-до-ва-тель-но, пло-щадь од-но-го тре-уголь-ни-ка в 2 раза мень-ше пло-ща-ди пря-мо-уголь-ни-ка. Зна-чит, надо 12 умень-шить в 2 раза.
Ответ: пло-щадь тре-уголь-ни-ка 6 см2.
Се-год-ня на уроке мы по-зна-ко-ми-лись с пра-ви-лом, как вы-чис-лить пло-щадь пря-мо-уголь-ни-ка и учи-лись при-ме-нять это пра-ви-ло при ре-ше-нии задач на на-хож-де-ние пло-ща-ди пря-мо-уголь-ни-ка.
ИСТОЧНИКИ
http://interneturok.ru/ru/school/matematika/3-klass/tema/ploschad-pryamougolnika?seconds=0&chapter_id=1779
Инструкция
Например, вам , что длина одной из сторон (а) равна 7 см, а периметр прямоугольника (P) равен 20 см. Так как периметр любой фигуры равен сумме длин ее сторон, а у прямоугольника противоположные стороны равны, то его периметр а будет выглядеть следующим образом: P = 2 x (a + b), или P = 2a + 2b. Из этой формулы следует, что найти длину второй стороны (b) можно с помощью несложной операции: b = (P – 2a) : 2. Так, в нашем случае сторона b будет равна (20 – 2 х 7) : 2 = 3 см.
Теперь, зная длины обеих смежных сторон (a и b), вы сможете подставить их в формулу площади S = ab. В данном случае прямоугольника будет равна 7х3 = 21. Обратите на то, что единицами измерения будут уже не , а сантиметры квадратные, так как длин двух сторон единицы их измерения (сантиметры) вы тоже умножали друг на друга.
Источники:
- как находится периметр прямоугольника
Плоская фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов. Из всех фигур площадь прямоугольника приходится вычислять чаще других. Это и площадь квартиры, и площадь садового участка, и площадь поверхности стола или полки. Например, чтобы просто оклеить комнату обоями, вычисляют площадь ее прямоугольных стен.
Инструкция
Кстати, из прямоугольника можно легко вычислить площадь . Достаточно достроить прямоугольный до прямоугольника так, чтобы гипотенуза стала диагональю прямоугольника . Тогда будет очевидно, что площадь такого прямоугольника равна произведению катетов треугольника, а площадь самого треугольника, соответственно, равна половине произведения катетов.
Видео по теме
Частный случай параллелограмма - прямоугольник – известен только в геометрии Евклида. У прямоугольника равны все углы, и каждый из них по отдельности составляет 90 градусов. Исходя из частных свойств прямоугольника , а также из свойств параллелограмма о параллельности противолежащих сторон можно найти стороны фигуры по заданным диагоналям и углу от их пересечения. Вычисление сторон прямоугольника основывается на дополнительных построениях и применении свойств получаемых фигур.
Инструкция
Буквой А отметьте точку пересечения диагоналей. Рассмотрите образованный построениями EFА. Согласно свойству прямоугольника его диагонали равны и пополам точкой пересечения А. Вычислите значения FА и EА. Так как треугольник EFА равнобедренным и его стороны EА и FА равны между собой и соответственно равны половине диагонали EG.
Далее вычислите первую EF прямоугольника . Данная сторона является третьей неизвестной стороной рассматриваемого треугольника EFА. Согласно теореме косинусов по соответствующей формуле найдите сторону EF. Для этого подставьте в формулу косинусов полученные ранее значения сторон FА EА и косинус известного угла между ними α. Вычислите и запишите полученное значение EF.
Найдите вторую сторону прямоугольника FG. Для этого рассмотрите другой треугольник EFG. Он является прямоугольным, где известны гипотенуза EG и катет EF. Согласно теореме Пифагора найдите второй катет FG по соответствующей формуле.
Относится к простейшим плоским геометрическим фигурам и является одним из частных случаев параллелограмма. Отличительная черта такого параллелограмма - прямые углы во всех четырех вершинах. Ограниченную сторонами прямоугольника площадь можно вычислить несколькими способами, используя размеры его сторон, диагонали и углы между ними, радиус вписанной окружности и т.д.
Инструкция
Если известна величина угла (α), который составляет диагональ прямоугольника с одной из его сторон, а также длина (С) этой диагонали, то для вычисления площади можно задействовать определения тригонометрических в прямоугольном . Прямоугольный треугольник здесь образуют две стороны четырехугольника и его диагональ. Из определения косинуса вытекает, что длина одной из сторон будет равна произведению длины диагонали на угла, величина известна. Из определения синуса можно вывести формулу длины другой стороны - она равна произведению длины диагонали на синус все того же угла. Подставьте эти тождества в формулу из предыдущего шага, и получится, что для нахождения площади надо перемножить синус и косинус известного угла, а также длины диагонали прямоугольника : S=sin(α)*cos(α)*С².
Если кроме длины диагонали (С) прямоугольника известна величина угла (β), который образуют диагонали, то для вычисления площади фигуры можно тоже задействовать одну из тригонометрических функций - синус. Возведите в квадрат длину диагонали и умножьте полученный результат на половину синуса известного угла: S=С²*sin(β)/2.
Если известен (r) вписанной в прямоугольник окружности, то для вычисления площади возведите эту величину во вторую степень и увеличьте результат в четыре раза: S=4*r². Четырехугольник, в который можно , будет являться квадратом, а длина его стороны равна диаметру вписанной окружности, то есть удвоенному радиусу. Формула получена подстановкой длин сторон, выраженных через радиус в тождество из первого шага.
Если известны длины (P) и одной из сторон (A) прямоугольника , то для нахождения площади внутри этого периметра вычислите половину произведения длины стороны на разницу между длиной периметра и двумя длинами этой стороны: S=A*(P-2*A)/2.
Видео по теме
С задачей найти периметр или площадь многоугольника сталкиваются не только ученики на уроках геометрии. Порой ее случается решать и взрослому человеку. Приходилось ли вам рассчитывать необходимое количество обоев для комнаты? Или, может быть, вы измеряли протяженность дачного участка, чтобы огородить его забором? Так знания основ геометрии иногда незаменимы для осуществления важных проектов.
