Математические методы и модели в экономике. Математические методы в экономике

Существует значительное разнообразие видов, типов экономико-математических моделей, необходимых для использования в управлении экономическими объектами и процессами. Экономико-математические модели подразделяются на: макроэкономические и микроэкономические в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, динамические, которые характеризуют изменения объекта управления во времени, и статические, которые описывают взаимосвязи между разными параметрами, показателями объекта именно в то время. Дискретные модели отображают состояние объекта управления в отдельные, фиксированные моменты времени. Имитационными называют экономико-математические модели, используемые с целью имитации управляемых экономических объектов и процессов с применением средств информационной и вычислительной техники. По типу математического аппарата, применяемого в моделях, выделяются экономико-статистические, модели линейного и нелинейного программирования, матричные модели, сетевые модели.

Факторные модели. В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, которые с одной стороны включают экономические факторы, от которых зависит состояние управляемого экономического объекта, а с другой - зависимые от этих факторов параметры состояния объекта. Если факторы известны, то модель позволяет определить искомые параметры. Факторные модели чаще всего предоставлены простыми в математическом отношении линейными или статическими функциями, которые характеризуют связь между факторами и зависимыми от них параметрами экономического объекта.

Балансовые модели. Балансовые модели как статистические, так и динамические широко применяются в экономико-математическом моделировании. В основе создания этих моделей лежит балансовый метод - метод взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них. Описывая экономическую систему в целом, под её балансовой моделью понимают систему уравнений, каждое из которых выражает потребность баланса между изготовленными отдельными экономическими объектами количества продукции и совокупной потребностью в этой продукции. При таком подходе экономическая система состоит из экономических объектов, каждый из которых выпускает некоторый продукт. Если вместо понятия «продукт» ввести понятие «ресурс», то под балансовой моделью необходимо понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требования между определенным ресурсом и его использованием.

Наиболее важные виды балансовых моделей:

• · Материальные, трудовые и финансовые балансы для экономики в целом и отдельных ее отраслей;
• · Межотраслевые балансы;
• · Матричные балансы предприятий и фирм.

Оптимизационные модели. Большой класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, которые позволяют выбрать из всех решений наилучший оптимальный вариант. В математическом содержании оптимальность понимается как достижение экстремума критерия оптимальности, называемой также целевой функцией. Оптимизационные модели чаще всего используются в задачах нахождения лучшего способа использования экономических ресурсов, что позволяет достичь максимального целевого эффекта. Математическое программирование образовалось на основе решения задачи про оптимальный раскрой листов фанеры, что обеспечивает наиболее полное использование материала. Поставив такую задачу, известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был признан достойным Нобелевской премии в экономике.

Московский Государственный Университет

экономики, статистики и информатики

Экономико-правовой факультет

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Дисциплина: АХД

Выполнила

Студентка гр.ВФ-3

Тимонина Т.С.

Математическое моделирование

Одним из видов формализованного знакового моделирования является математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его математическая модель, т.е. приближенное описание этого класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

Сам процесс математического моделирования можно подразделить на четыре основных этапа:

I этап: Формулирование законов, связывающих основные объекты модели, т.е. запись в виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

II этап: Исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основной вопрос - решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

III этап: Корректировка принятой гипотетической модели согласно критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры ее были даны, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются не определенными. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели.

IV этап: Последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изученных явлениях и модернизация модели. С появлением ЭВМ метод математического моделирования занял ведущее место среди других методов исследования. Особенно важную роль этот метод играет в современной экономической науке. Изучение и прогнозирование какого-либо экономического явления методом математического моделирования позволяет проектировать новые технические средства, прогнозировать воздействие на данное явление тех или иных факторов, планировать эти явления даже при существовании нестабильной экономической ситуации.

Сущность экономического анализа

Анализ (разложение, расчленение, разбор) - логический прием, метод исследования, суть которого состоит в том, что изучаемый предмет мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых затем исследуется в отдельности как часть расчлененного целого, для того чтобы выделенные в ходе анализа элементы соединить с помощью другого логического приема - синтеза - в целое, обогащенное новыми знаниями.

Под экономическим анализом понимают прикладную научную дисциплину, представляющую собой систему специальных знаний, позволяющих оценить эффективность деятельности того или иного субъекта рыночной экономики.

Теория экономического анализа позволяет рационально обосновать, спрогнозировать на ближайшую перспективу развитее объекта управления и оценить целесообразность принятия управленческого решения.

Основные направления экономического анализа:

Формулирование системы показателей, характеризующих работу анализируемого объекта;

Качественный анализ изучаемого явления (результата);

Количественный анализ этого явления (результата):

Для разработки и принятия управленческого решения важно, что оно является средством решения основной задачи выявления резервов повышения эффективности хозяйственной деятельности в улучшении использования производственных ресурсов, снижении себестоимости, повышении рентабельности и увеличении прибыли, т.е. направлен на конечную цель реализации управленческого решения.

Разработчики теории экономического анализа подчеркивают его характерные особенности:

1. Диалектичность подхода к изучению экономических процессов, которым свойственны: переход количества в качество, появление нового качества, отрицание отрицания, борьба противоположностей, отмирание старого и появление нового.

2. Обусловленность экономических явлений причинными связями и взаимозависимостью.

3. Выявление и измерение взаимосвязей и взаимозависимостей показателей базируются на знаниях объективных закономерностей развития производства и обращения товаров.

Экономический анализ, прежде всего, является факторным, т. е. определяющим влияние комплекса экономических факторов на результативный показатель деятельности предприятия.

Влияние различных факторов на экономический показатель функционирования предприятия, фирмы осуществляется с помощью стохастического анализа.

В свою очередь, детерминированный и стохастический анализы обеспечивают:

Установление причинно-следственных или вероятностных связей факторов и результативных показателей;

Выявление экономических закономерностей влияния факторов на функционирование предприятия и выражение их с помощью математических зависимостей;

Возможность построения моделей (в первую очередь, математических) воздействий факторных систем на результативные показатели и исследования с их помощью влияния на конечный результат принимаемого управленческого решения.

На практике используются различные виды экономического анализа. Для принимаемых управленческих решений особенно важны анализы: оперативные, текущие, перспективные (по временным отрезкам); частичные и комплексные (по объему); по выявлению резервов, повышению качества и т. п. (по назначению); прогнозный анализ. Прогнозы позволяют экономически обосновывать стратегические, оперативные (функциональные) или тактические управленческие решения.

Исторически сложились две группы способов и приемов: традиционные и математические. Рассмотрим подробнее применение математических методов в экономическом анализе.

Математические методы в экономическом анализе

Использование математических методов в сфере управления - важнейшее направление совершенствования систем управления. Математические методы ускоряют проведение экономического анализа, способствуют более полному учету влияния факторов на результаты деятельности, повышению точности вычислений. Применение математических методов требует:

* системного подхода к исследованию заданного объекта, учета взаимосвязей и отношений с другими объектами (предприятиями, фирмами);

* разработки математических моделей, отражающих количественные показатели системной деятельности работников организации, процессов, происходящих в сложных системах, какими являются предприятия;

* совершенствования системы информационного обеспечения управления предприятием с использованием электронно-вычислительной техники.

Решение задач экономического анализа математическими методами возможно, если они сформулированы математически, т.е. реальные экономические взаимосвязи и зависимости выражены с применением математического анализа. Это вызывает необходимость разработки математических моделей.

В управленческой практике для решения экономических задач прибегают к различным методам. На рисунке 1 приведены основные математические методы, применяемые в экономическом анализе.

Выбранные признаки классификации достаточно условны. Например, в сетевом планировании и управлении используются различные математические методы, а в значение термина "исследование операций" многие авторы вкладывают различное содержание.

Методы элементарной математики используются в традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, разработке плана, проектов и т. п.

Классические методы математического анализа используются самостоятельно (дифференцирование и интегрирование) и в рамках других методов (математической статистики, математического программирования).

Статистические методы - основное средство исследования массовых повторяющихся явлений. Они применяются при возможности представления изменения анализируемых показателей как случайного процесса. Если связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы становятся практически единственным инструментом исследования. В экономическом анализе наиболее известны методы множественного и парного корреляционного анализа.

Для изучения одновременных статистических совокупностей служат закон распределения, вариационный ряд, выборочный метод. Для многомерных статистических совокупностей применяются корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа.

Экономические методы базируются на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии - экономическая модель, т.е. схематическое представление экономического явления или процессов, отражение их характерных черт с помощью научной абстракции . Наиболее распространен метод анализа экономики "затраты - выпуск". Метод представляет матричные (балансовые) модели, построенные по шахматной схеме и наглядно иллюстрирующие взаимосвязь затрат и результатов производства.

Методы математического программирования - основное средство решения задач оптимизации производственно -хозяйственной деятельности. По сути, методы - средства плановых расчетов, и они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, дефицитность результатов, определять лимитирующие виды сырья, группы оборудования.

Под исследованием операций понимаются разработки методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка решений и выбор наилучшего из них. Цель исследования операций сочетание структурных взаимосвязанных элементов системы, в наибольшей степени обеспечивающее лучший экономический показатель.

Теория игр как раздел исследования операций представляет собой теорию математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.

Методы математической статистики

Рис. 1. Классификация основных математических методов, применяемых в экономическом анализе.

Теория массового обслуживания на основе теории вероятности исследует математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Особенность всех задач, связанных с массовым обслуживанием, - случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлениями имеют случайный характер, однако в совокупности подчиняются статистическим закономерностям, количественное изучение которых и есть предмет теории массового обслуживания.

Экономическая кибернетика анализирует экономические явления и процессы как сложные системы с точки зрения законов управления и движения в них информации. Методы моделирования и системного анализа наиболее разработаны именно в этой области.

Применение математических методов в экономическом анализе базируется на методологии экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованной классификации методов и задач анализа. Все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные решения по заданному критерию и неоптимизационные (решения без критерия оптимальности).

По признаку получения точного решения все математические методы делятся на точные (по критерию или без него получают единственное решение) и приближенные (на основе стохастической информации).

К оптимальным точным можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций, к оптимизационным приближенным - часть методов математического программирования, исследования операций, экономической кибернетики, эвристические.

К неоптимизационным точным принадлежат методы элементарной математики и классические методы математического анализа, экономические методы, к неоптимизационным приближенным - метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.

Особенно часто применяются математические модели очередей и управления запасами. Например, теория очередей опирается на разработанную учеными А.Н. Колмогоровым и А.Л. Ханчиным теорию массового обслуживания.

Теория массового обслуживания

Данная теория позволяет изучать системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований случайного характера. Случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты времени на их обслуживание. Целью методов теории является отыскание разумной организации обслуживания, обеспечивающей заданное его качество, определение оптимальных (с точки зрения принятого критерия) норм дежурного обслуживания, надобность в котором возникает непланомерно, нерегулярно.

С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

Типичным примером объектов теории массового обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

Исходя их данных вероятностных характеристик поступающего потока вызовов и продолжительности обслуживания и учитывая схему системы обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.).

Математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания являются также задачи линейного программирования. Линейное программирование - это дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств.

Задача планирования работы предприятия

Для производства однородных изделий необходимо затратить различные производственные факторы - сырье, рабочую силу, станочный парк, топливо, транспорт и т.д. Обычно имеется несколько отработанных технологических способов производства, причем в этих способах затраты производственных факторов в единицу времени для выпуска изделий различны.

Количество израсходованных производственных факторов и количество изготовляемых изделий зависит от того, сколько времени предприятие будет работать по тому или иному технологическому способу.

Ставится задача рационального распределения времени работы предприятия по различным технологическим способам, т.е. такого, при котором будет произведено максимальное количество изделий при заданных ограниченных затратах каждого производственного фактора.

На основе метода математического моделирования в операционных исследованиях решаются также многие важные задачи, требующие специфических методов решения. К их числу относятся:

· Задача надежности изделий.

· Задача замены оборудования.

· Теория расписаний (так называемая теория календарного планирования).

· Задача распределения ресурсов.

· Задача ценообразования.

· Теория сетевого планирования.

Задача надежности изделий

Надежность изделий определяется совокупностью показателей. Для каждого из типов изделий существуют рекомендации по выбору показателей надежности.

Для оценки изделий, которые могут находиться в двух возможных состояниях - работоспособном и отказовом, применяются следующие показатели: среднее время работы до возникновения отказа (наработка до первого отказа), наработка на отказ, интенсивность отказов, параметр потока отказов, среднее время восстановления работоспособного состояния, вероятность безотказной работы за время t, коэффициент готовности.

Задача распределения ресурсов

Вопрос распределения ресурсов является одним из основных в процессе управления производством. Для решения этого вопроса в операционных исследованиях пользуются построением линейной статистической модели.

Задача ценообразования

Для предприятия вопрос образования цены на продукцию играет немаловажную роль. От того, как проводится ценообразование на предприятии, зависит его прибыль. Кроме того, в существующих сейчас условиях рыночной экономики цена стала существенным фактором в конкурентной борьбе.

Теория сетевого планирования

Сетевое планирование и управление, является системой планирования управления разработкой крупных хозяйственных комплексов, конструкторской и технологической подготовкой производства новых видов товаров, строительством и реконструкцией, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Сущность сетевого планирования и управления состоит в составлении математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика или модели находящейся в памяти компьютера, в которых отражается взаимосвязь и длительность определенного комплекса работ. Сетевой график после его оптимизации средствами прикладной математики и вычислительной техники используется для оперативного управления работами.

Решение экономических задач с помощью метода математического моделирования позволяет осуществлять эффективное управление как отдельными производственными процессами на уровне прогнозирования и планирования экономических ситуаций и принятия на основе этого управленческих решений, так и всей экономикой в целом. Следовательно, математическое моделирование как метод тесно соприкасается с теорией принятия решений в менеджменте.

Этапы экономико-математического моделирования

Основные этапы процесса моделирования уже рассматривались выше. В различных отраслях знаний, в том числе и в экономике, они приобретают свои специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез, объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математической модели . Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше "работает" и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта).

Одна из важных особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться "изобретать" модель; вначале необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

В процессе построения модели осуществляется взаимосопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Естественно стремиться к тому, чтобы получить модель, принадлежащую хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных предпосылок модели, не искажающих существенных черт моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Потребности экономической науки и практики в середине ХХ в. способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели (теорема существования). Если удастся доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Знание общих свойств модели имеет столь важное значение, часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общих свойств модели, а упрощения модели приводят к недопустимым результатам, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Обычно расчеты по экономико-математической модели носят многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных компьютеров удается проводить многочисленные "модельные" эксперименты, изучая "поведение" модели при различных изменениях некоторых условий. Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Использованная литература

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕБАЛТИЙСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по предмету:

«Экономико-математическиеметоды и моделирование»

Введение

1. Математическоемоделирование в экономике

1.1 Развитие методовмоделирования

1.2 Моделирование какметод научного познания

1.3 Экономико-математическиеметоды и модели

Заключение

Литература

Введение

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более 400 леттому назад. В середине XV в. обоснованием методов моделированиязанимался Леонардо да Винчи: он предпринял попытку вывести общие закономерностиподобия, использовал механическое и геометрическое подобие при анализе ситуацийв рассматриваемых им примерах. Он использовал понятие аналогии и обращалвнимание на необходимость экспериментальной проверки результатов аналогичныхрассуждений, на важность опыта, соотношения опыта и теории, их роли в познании.

Идеи Леонардо да Винчи о механическом подобии в XVII веке развил Галилей, онииспользовались при построении галер в Венеции.

В 1679 г. Мариотт использовал теорию механического подобия втрактате о соударяющихся телах.

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнениясамого понятия подобия были даны в конце XVII века И. Ньютоном в «Математическихначалах натуральной философии».

В 1775–76 гг. И.П. Кулибин использовал статическоеподобие в опытах с моделями моста через Неву пролетом 300 м. Модели былидеревянные, в 1/10 натуральной величины и весом свыше 5 т. Расчеты Кулибинабыли проверены и одобрены Л. Эйлером.

1. Математическое моделирование в экономике

1.1 Развитие методов моделирования

Успехи математики стимулировали использование формализованныхметодов и в нетрадиционных сферах науки и практики. Так, О. Курно (1801–1877)ввел понятие функций спроса и предложения, а еще ранее немецкий экономист И.Г. Тюнен(1783–1850) стал применять математические методы в экономике и предложил теориюразмещения производства, предвосхитив теорию предельной производительности труда.К пионерам использования метода моделирования можно отнести Ф. Кенэ (1694–1774),автора «Экономической таблицы» (зигзаги Кенэ) – одной из первых моделейобщественного воспроизводства, трехсекторной макроэкономической модели простоговоспроизводства.

В 1871 г. Ульямс Стенли Джевонс (1835–1882) опубликовал «Теориюполитической экономии», где изложил теорию предельной полезности. Подполезностью понимается способность удовлетворять потребности человека, лежащаяв основе товаров и цены. Джевонс различал:

– абстрактную полезность, которая лишена конкретной формы;

– полезность вообще как удовольствие, получаемое человеком отпотребления благ;

– предельную полезность – наименьшую полезность среди всего множестваблаг.

Практически одновременно (1874 г.) с работой Джевонсапоявился труд «Элементы чистой политической экономии» Леона Вальраса (1834–1910),в котором он поставил задачу нахождения такой системы цен, при которойсовокупный спрос по всем товарам и рынкам был бы равен совокупному предложению.По Вальрасу ценообразующими факторами являются:

Издержкипроизводства;

Предельнаяполезность блага;

Спроси предложение товара;

Воздействиена цену данного товара всей системы цен по
остальным товарам.

Конец XIX – начало XX века ознаменовались широким использованиемматематики в экономике. В XX в. математические методы моделированияиспользуются столь широко, что почти все работы, удостоенные Нобелевской премиипо экономике, связаны с их применением (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев,П. Самуэльсон, Л. Канторович и др.). Развитие предметных дисциплин вбольшинстве сфер науки и практики обусловлено все более высоким уровнем формализации,интеллектуализации и использования компьютеров. Далеко не полный переченьнаучных дисциплин и их разделов включает: функции и графики функций,дифференциальное и интегральное исчисление, функции многих переменных, аналитическуюгеометрию, линейные пространства, многомерные пространства, линейную алгебру,статистические методы, матричное исчисление, логику, теорию графов, теорию игр,теорию полезности, методы оптимизации, теорию расписаний, исследованиеопераций, теорию массового обслуживания, математическое программирование,динамическое, нелинейное, целочисленное и стохастическое программирование,сетевые методы, метод Монте-Карло (метод статистических испытаний), методытеории надежности, случайные процессы, марковские цепи, теорию моделирования иподобия.

Формализованные упрощенные описания экономических явленийназываются экономическими моделями. Модели используют для обнаружения наиболеесущественных факторов явлений и процессов функционирования экономическихобъектов, для составления прогноза возможных последствий воздействия наэкономические объекты и системы, для различных оценок и использования этихоценок в управлении.

Построение модели осуществляется как реализация следующих этапов:

а) формулирование цели исследования;

б) описание предмета исследования в общепринятых терминах;

в) анализ структуры известных объектов и связей;

г) описание свойств объектов и характера и качества связей;

д) оценивание относительных весов объектов и связейэкспертным методом;

е) построение системы наиболее важных элементов в словесной,графической или символьной форме;

ж) сбор необходимых данных и проверка точности результатов моделирования;

и) анализ структуры модели на предмет адекватности представленияописываемого явления и внесение корректив; анализ обеспеченности исходнойинформации и планирование либо дополнительных исследований для возможной заменыодних данных другими, либо специальных экспериментов для получения недостающихданных.

Математические модели, используемые в экономике, можно разделитьна классы в зависимости от особенностей моделируемых объектов, цели и методовмоделирования.

Макроэкономические модели предназначены для описания экономики какединого целого. Основными характеристиками, используемыми при анализе, являютсяВНП, потребление, инвестиции, занятость, количество денег и др.

Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных ифункциональных составляющих экономики или поведение одной из составляющих всреде остальных. Основные объекты приложения моделирования в микроэкономике – этопредложение, спрос, эластичность, издержки, производство, конкуренция,потребительский выбор, ценообразование, теория монополии, теория фирмы и др.

По характеру модели могут быть теоретическими (абстрактными), прикладными,статическими, динамическими, детерминированными, стохастическими, равновесными,оптимизационными, натурными, физическими.

Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики,исходя из формальных предпосылок с использованием метода дедукции.

Прикладные модели позволяют оценивать параметры функционированияэкономического объекта. Они оперируют числовыми знаниями экономическихпеременных. Чаще всего в этих моделях используют статистические или фактическиенаблюдаемые данные.

Равновесные модели описывают такое состояние экономики как системы,при котором сумма всех действующих на нее сил равна нулю.

Оптимизационные модели оперируют с понятием максимизации полезности,результатом которой является выбор поведения, при котором сохраняется состояниеравновесия на микроуровне.

Статические модели описывают мгновенное состояние экономическогообъекта или явления.

Динамическая модель описывает состояние объекта как функцию времени.

Стохастические модели учитывают случайные воздействия на экономическиехарактеристики и используют аппарат теории вероятностей.

Детерминированные модели предполагают наличие между изучаемымихарактеристиками функциональной связи и, как правило, используют аппаратдифференциальных уравнений.

Натурное моделирование проводится на реально существующих объектах приспециально подобранных условиях, например, эксперимент, проводимый во времяпроизводственного процесса на действующем предприятии, отвечающий при этомзадачам самого производства. Метод натурного исследования возник изпотребностей материального производства тогда, когда еще не существовала наука.Он сосуществует наравне с естественнонаучным экспериментом и в настоящее время,демонстрируя единство теории и практики. Разновидностью натурного моделированияявляется моделирование путем обобщения производственного опыта. Отличие состоитв том, что вместо специально образованного в производственных условияхэксперимента пользуются имеющимся материалом, обрабатывая его в соответствующихкритериальных соотношениях, используя теорию подобия.

Понятие модели всегда требует введения понятия подобия, котороеопределяется как взаимно однозначное соответствие между объектами. Функцияперехода от параметров, характеризующих один из объектов, к параметрам,характеризующим другой объект, известна.

Модель обеспечивает подобие только тех процессов, которыеудовлетворяют критериями подобия.

Теория подобия применяется при:

а) отыскании аналитических зависимостей, соотношений ирешений конкретных задач;

б) обработке результатов экспериментальных исследований втех случаях, когда результаты представлены в виде обобщенных критериальныхзависимостей;

в) создании моделей, воспроизводящих объекты или явления в меньшихмасштабах, или по сложности отличающихся от исходных.

При физическом моделировании исследование проводится наустановках, обладающих физическим подобием, т.е. когда в основном сохраняетсяприрода явления. Например, связи в экономических системах моделируютсяэлектрической цепью/ сетью. Физическое моделирование может быть временным, прикотором исследуются явления, протекающие только во времени;пространственно-временным – когда изучаются нестационарные явления,распределенные во времени и пространстве; пространственным, или объектным – когдаизучаются равновесные состояния, не зависящие от других объектов или времени.

Процессы считают подобными, если существует соответствиесходственных величин рассматриваемых систем: размеров, параметров, положения идр.

Закономерности подобия формулируются в виде двух теорем,устанавливающих соотношения между параметрами подобных явлений, не указываяспособов реализации подобия при построении моделей. Третья, или обратнаятеорема определяет необходимые и достаточные условия подобия явлений, требуяподобия условий однозначности (выделения данного процесса из многообразияпроцессов) и такого подбора параметров, при которых критерии подобия,содержащие начальные и граничные условия, становятся одинаковыми.

Первая теорема

Подобные в том или ином смысле явления имеют одинаковые сочетанияпараметров.

Безразмерные комбинации параметров, численно одинаковые для всехподобных процессов, называются критериями подобия.

Вторая теорема

Всякое полное уравнение процесса, записанное в определеннойсистеме единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е.уравнением, связывающим безразмерные величины, полученные из участвующих впроцессе параметров.

Зависимость является полной, если учитывать все связи междувходящими в нее величинами. Такая зависимость не может измениться при измененииединиц измерения физических величин.

Третья теорема

Для подобия явлений должны быть соответственно одинаковымиопределяющие критерии подобия и подобны условия однозначности.

Под определяющими параметрами понимают критерии, содержащие тепараметры процессов и системы, которые в данной задаче можно считатьнезависимыми (время, капитал, ресурсы и т.д.); под условиями однозначностипонимается группа параметров, значения которых, заданные в виде функциональныхзависимостей или чисел, выделяют из возможного разнообразия явлений конкретноеявление.

Подобие сложных систем, состоящих из несколько подсистем, подобныв отдельности, обеспечивается подобием всех сходственных элементов являющихсяобщими для подсистем.

Подобие нелинейных систем сохраняется, если выполняются условиясовпадения относительных характеристик сходственных параметров, являющихся нелинейнымиили переменными.

Подобие неоднородных систем. Подход к установлению условий подобиянеоднородных систем такой же, как и подход к нелинейным системам.

Подобие при вероятностном характере изучаемых явлений. Все теоремыусловия подобия, относящиеся к детерминированным системам, оказываютсясправедливыми при условии совпадения плотностей вероятностей сходственных параметров,представленных в виде относительных характеристик. При этом дисперсии иматематические ожидания всех параметров с учетом масштабов должны быть уподобных систем одинаковыми. Дополнительным условием подобия являетсявыполнение требования физической реализуемости сходственной корреляции и междустохастически заданными параметрами, входящими в условие однозначности.

Существует два способа определения критериев подобия:

а) приведение уравнений процесса к безразмерному виду;

б) использование параметров, описывающих процесс, при томчто уравнение процесса неизвестно.

На практике пользуются также еще одним способом относительныхединиц, являющимся модификацией первых двух. При этом все параметры выражаютсяв долях от определенным образом выбранных базисных величин. Наиболеесущественные параметры, выраженные в долях базисных можно рассматривать каккритерии подобия, действующие в конкретных условиях.

Таким образом, экономико-математические модели и методы – это нетолько аппарат для получения экономических закономерностей, но и широкоиспользуемый инструментарий практического решения проблем в управлении,прогнозировании, бизнесе, банковском деле и других разделах экономики.

1.2 Моделирование как метод научного познания

Научное исследование представляет собой процесс выработки новыхзнаний, один из видов познавательной деятельности. Для проведения научныхисследований используются различные методы, одним из которых являетсямоделирование, т.е. исследование какого-либо явления, процесса или системыобъектов путем построения и изучения его моделей. Моделирование означает такжеиспользование моделей для определения или уточнения характеристик ирационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

«Моделирование – одна из основных категорий теории познания; наидее моделирования, по существу, базируется любой метод научного познания кактеоретический, так и экспериментальный». Моделирование стало применяться внаучных исследованиях еще в глубокой древности и постепенно охватывало всеновые и новые области научных знаний: техническое конструирование,строительство, архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец,общественные науки. Следует отметить, что методологии моделирования долгоевремя развивались применительно к конкретным наукам, независимо одна от другой.В этих условиях не было единой системы познаний, терминологии. Затем сталавыявляться роль моделирования как универсального метода научного познания, какважной гносеологической категории. Однако необходимо четко уяснить, чтомоделирование – это метод опосредованного познания с помощью некоторогоинструмента – модели, которая ставится между исследователем и объектомисследования. Моделирование используется либо тогда, когда объект невозможноисследовать непосредственно (ядро Земли, Солнечная система и пр.), либо тогда,когда объекта еще не существует (будущее состояние экономики, будущий спрос,ожидаемое предложение и т.п.), либо, когда исследование требует много времени исредств, либо, наконец, для проверки различного рода гипотез. Моделированиечаще всего является частью общего процесса познания. В настоящее времясуществует много различных определений и классификаций моделей применительно кзадачам разных наук. Примем определение, данное экономистом В.С. Немчиновым,известным, в частности, трудами по разработке моделей планового хозяйства:«Модель есть средство выделения какой-либо объективно действующей системызакономерных связей и отношений, имеющих место в изучаемой реальнойдействительности».

Главным требованием, предъявляемым к моделям, являетсяадекватность реальной действительности, хотя модель и воспроизводит изучаемыйобъект или процесс в упрощенном виде. При построении любой модели передисследователем стоит сложная задача: с одной стороны, упроститьдействительность, отбросив все второстепенное, чтобы сосредоточится насущественных особенностях объекта, с другой стороны, не упрощать до такогоуровня, чтобы ослабить связь модели с реальной действительностью. Американскийматематик Р. Беллман образно охарактеризовал такую задачу, как «западнюпереупрощения и болото переусложнения».

В процессе научного исследования модель может работать в двухнаправлениях: от наблюдений реального мира к теории и обратно; т.е., с однойстороны, построение модели является важной ступенью к созданию теории, с другой– одно из средств экспериментального исследования. В зависимости от выборасредств моделирования выделяют модели материальные и абстрактные (знаковые).Материальные (физические) модели широко используются в технике, архитектуре идругих областях. Они основаны на получении физического образа исследуемогообъекта или процесса. Абстрактные модели не связаны с построением физическихобразов. Они являются некоторым промежуточным звеном между абстрактнымтеоретическим мышлением и реальной действительностью. К абстрактным моделям (ихназывают знаковыми) можно отнести числовые (математические выражения сконкретными числовыми характеристиками), логические (блок-схемы алгоритмоврасчетов на ЭВМ, графики, диаграммы, рисунки). Модели, при построений которыхпреследуется цель определения такого: состояния объекта, которое являетсянаилучшим с точки зрения определенного критерия, называются нормативными.Модели, предназначенные для объяснения наблюдаемых фактов или прогнозаповедения объекта, называются дескриптивными.

Эффективность применения моделей определяется научнойобоснованностью их предпосылок, умением исследователя выделить существенныехарактеристики объекта моделирования, отобрать исходную информацию,интерпретировать применительно к системе полученные результаты численныхрасчетов.

1.3 Экономико-математические методы и модели

Как и всякое моделирование, экономико-математическое моделированиеосновывается на принципе аналогии, т.е. возможности изучения объектапосредством построения и рассмотрения другого, подобного ему, но более простогои доступного объекта, его модели.

Практическими задачами экономико-математического моделированияявляются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическоепрогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведенияотдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всехуровнях управления.

Описание экономических процессов и явлений в видеэкономико-математических моделей базируется на использовании одного изэкономико-математических методов. Обобщающее название комплекса экономических иматематических дисциплин – экономико-математические методы – ввел в начале 60-хгодов академик В.С. Немчинов. С известной долей условности классификациюэтих методов можно представить следующим образом.

1. Экономико-статистические методы:

· экономическаястатистика;

· математическаястатистика;

· многофакторныйанализ.

2. Эконометрия:

· макроэкономическиемодели;

· теорияпроизводственных функций

· межотраслевыебалансы;

· национальныесчёта;

· анализспроса и потребления;

· глобальноемоделирование.

3. Исследование операций (методы принятия оптимальных решений):

· математическоепрограммирование;

· сетевоеи планирование управления;

· теориямассового обслуживания;

· теорияигр;

· теориярешений;

· методымоделирования экономических процессов в отраслях и на предприятиях.

4. Экономическая кибернетика:

· системныйанализ экономики;

· теорияэкономической информации.

5. Методы экспериментального изучения экономических явлений:

· методымашинной имитации;

· деловыеигры;

· методыреального экономического эксперимента.

В экономико-математических методах применяются различные разделыматематики, математической статистики, математической логики. Большую роль врешении экономико-математических задач играют вычислительная математика, теорияалгоритмов и другие дисциплины. Использование математического аппарата принеслоощутимые результаты при решении задач анализа процессов расширенногопроизводства, матричного моделирования, определения оптимальных темпов ростакапиталовложений, оптимального размещения, специализации и концентрациипроизводства, задач выбора оптимальных способов производства, определенияоптимальной последовательности запуска в производство, оптимальных вариантовраскроя промышленных материалов и составления смесей, задачи подготовкипроизводства методами сетевого планирования и многих других.

Для решения стандартных проблем характерны четкость цели,возможность заранее выработать процедуры и правила ведения расчетов.

Существуют следующие предпосылки использования методовэкономико-математического моделирования.

Важнейшими из них являются, во-первых, высокий уровень знанияэкономической теории, экономических процессов и явлений, методологии ихкачественного анализа; во-вторых, высокий уровень математической подготовки,владение экономико-математическими методами.

Прежде чем приступить к разработке моделей, необходимо тщательнопроанализировать ситуацию, выявить цели и взаимосвязи, проблемы, требующиерешения, и исходные данные для их решения, ввести систему обозначений, и толькотогда описать ситуацию в виде математических соотношений.

Заключение

Характерной особенностью научно-технического прогресса в развитыхстранах является возрастание роли экономической науки. Экономика выдвигается напервый план именно потому, что она в решающей степени определяет эффективностьи приоритетность направлений научно-технического прогресса раскрывает широкиепути реализации экономически выгодных достижений.

Применение математики в экономической науке, дало толчок вразвитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в частиметодов экономико-математической модели. Пословица говорит: «Семь раз отмерь – Одинраз отрежь». Использование моделей есть время, силы, материальные средства.Кроме того, расчёты по моделям противостоят волевым решениям, посколькупозволяют заранее оценить последствия каждого решения, отбросить недопустимыеварианты и рекомендовать наиболее удачные.

На всех уровнях управления, во всех отраслях используются методыэкономико-математического моделирования. Выделим условно следующие направленияих практического применения, по которым получен уже большой экономическийэффект.

Первое направление – прогнозирование и перспективное планирование.Прогнозируются темпы и пропорции развития экономики, на их основе определяютсятемпы и факторы роста национального дохода, его распределение на потребление инакопление и т.д. Важным моментом является использованиеэкономико-математических методов не только при составлении планов, но и в делеоперативного руководства по их реализации.

Второе направление – разработка моделей, которые используются какинструмент согласования и оптимизации плановых решений, в частности этомежотраслевые и межрегиональные балансы производства и распределения продукции.По экономическому содержанию и характеру информации выделяют балансыстоимостные и натурально-продуктовые, каждый из которых может быть отчетным иплановым.

Третье направление – использование экономико-математическихмоделей на отраслевом уровне (выполнение расчетов оптимальных планов отрасли,анализ с помощью производственных функций, прогнозирование основныхпроизводственных пропорций развития отрасли). Для решения задачи размещения испециализации предприятия, оптимального прикрепления к поставщикам илипотребителям и др. используются модели оптимизаций двух типов: в одних длязаданного объёма производства продукции требуется найти вариант реализацииплана с наименьшими затратами», в других требуется определить масштабыпроизводства и структуру продукции с целью получения максимального эффекта. Впродолжение расчетов осуществляется переход от статистических моделей кдинамическим и от статистических моделей к динамическим и от моделированияотдельных отраслей к оптимизации многоотраслевых комплексов. Если раньше былипопытки создать единую модель отрасли, то теперь наиболее перспективнымсчитается использование комплексов моделей, взаимоувязанных как по вертикали,так и по горизонтали.

Четвертое направление – экономико-математическое моделированиетекущего и оперативного планирования промышленных, строительных, транспортных идругих объединений, предприятий и фирм. Область практического применениямоделей включает также подразделения сельского хозяйства, торговли, связи,здравоохранения, охрану природы и т.д. В машиностроении используется большоеколичество разнообразных моделей, наиболее «отлаженными» из которых являютсяоптимизационные, позволяющие определить производственные программы и наиболеерациональные варианты использования ресурсов, распределить производственнуюпрограмму во времени и эффективно организовать работу внутризаводскоготранспорта, существенно улучшить загрузку оборудования и разумно организоватьконтроль продукции и др.

Пятое направление – территориальное моделирование, начало которомуположила разработка отчетных межотраслевых балансов некоторых регионов в конце50-х годов.

В качестве шестого направления можно выделитьэкономико-математическое моделирование материально-технического обеспечения,включающее оптимизацию транспортно-экономических связей и уровня запасов.

К седьмому направлению относятся модели функциональных блоковэкономической системы: движение населения, подготовка кадров, формированиеденежных доходов и спроса на потребительские блага и др.

Особенно большую роль приобретают экономико-математические методыпо мере внедрения информационных технологий во всех областях практики.

Литература

1. Вентцель Е.С. Исследованиеопераций. – М: Советское радио, 1972.

2. Грешилов А.А. Какпринять наилучшее решение в реальных условиях. - М.: Радио и связь, 1991.

3. Канторович Л.В. Экономическийрасчёт наилучшего использования ресурсов. – М.: Наука, АН СССР, 1960.

4. Кофман А.,Дебазей Г. Сетевые методы планирования и их применение. – М.: Прогресс, 1968.

5. Кофман А.,Фор Р. Займёмся исследованием операций. – М.: Мир, 1966.

Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями . При построении экономических моделей выбудут существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.

К экономическим моделям могут относится модели:

• экономического роста
• потребительского выбора
• равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.

Модель — ϶ᴛᴏ логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные ϲʙᴏйства моделируемого объекта или процесса.

Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.

Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.

Экономико-математическая модель

В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — ϶ᴛᴏ математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

Основные типы моделей

• Экстраполяционные модели
• Факторные эконометрические модели
• Оптимизационные модели
• Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
• Экспертные оценки
• Отметим, что теория игр
• Сетевые модели
• Модели систем массового обслуживания

Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе

В настоящие время в анализе хозяйственной деятельности организаций все большее применение находят математические методы исследования. Это способствует совершенствованию экономического анализа, его углублению и повышению его действенности.

В результате использования математических методов достигается более полное изучение влияния отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления экономических расчетов, решаются многомерные аналитические задачи, кᴏᴛᴏᴩые не могут быть выполнены традиционными методами. В процессе использования экономико-математических методов в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организаций.

Различают четыре основных вида экономико-математических моделей, используемых при анализе влияния отдельных факторов:

• аддитивные модели;
• мультипликативные модели;
• кратные модели;
• смешанные модели.

Аддитивные модели могут быть определены как алгебраическая сумма отдельных показателей. Нужно помнить, такие модели могут быть охарактеризованы с помощью следующей формулы:

Примером аддитивной модели будет баланс товарной продукции.

Мультипликативные модели могут быть определены как произведение отдельных факторов.

Важно заметить, что одним из примеров подобной модели может быть двухфакторная модель, выражающая зависимость между объемом выпуска продукции, количеством единиц используемого оборудования и выработкой продукции в расчете на одну единицу оборудования:

П = К В ,

• П — объем выпуска продукции;
• К — количество единиц оборудования;
• В — выработка продукции на единицу оборудования.

Кратные модели — ϶ᴛᴏ соотношение отдельных факторов. Стоит заметить, что они характеризуются такой формулой:

ОП = x/y

Здесь ОП представляет собой обобщающий экономический показатель, кᴏᴛᴏᴩый находится под влиянием отдельных факторов x и y . Примером кратной модели может служить формула, выражающая зависимость между продолжительностью оборота оборотных активов в днях, средней величиной данных активов за данный период и однодневным объемом продаж:

П = ОА/ОП ,

• П — продолжительность оборота;
• ОА — средняя величина оборотных активов;
• ОП — однодневный объем продаж.

Наконец, смешанные модели — ϶ᴛᴏ сочетание уже рассмотренных нами видов моделей. Вот к примеру, такой моделью может быть описан показатель рентабельности активов, на уровень кᴏᴛᴏᴩого влияют три фактора: чистая прибыль (ЧП), величина внеоборотных активов (ВА), величина оборотных активов (ОА):

R a = ЧП / ВА + ОА ,

В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:

Таким образом, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Важно знать, что большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.

После ϶ᴛᴏго нужно выбрать способ решения ϶ᴛᴏй модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с данными способами и методами в экономическом анализе могут быть использованы и специфически математические способы и методы.

Интегральный метод экономического анализа

Важно заметить, что одним из таких способов (методов) будет интегральный. Стоит заметить, что он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.

В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода ϶ᴛᴏт прирост делится поровну между всеми факторами.

Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, кᴏᴛᴏᴩые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между данными элементами.

Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в ϲʙᴏей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.

В процессе применения интегрального метода крайне важно соблюдение нескольких условий. В первую очередь, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов

d y / d x = const

При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.

В случае если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:

ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y

Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y

При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:

Z=x /y ;

Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0

Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)

Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К ϶ᴛᴏму типу задач ᴏᴛʜᴏϲᴙтся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.

Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.

Метод логарифмирования

Кроме ϶ᴛᴏго метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Стоит заметить, что он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода состоит по сути в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. По϶ᴛᴏму метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.

В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как ϶ᴛᴏ имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения данных показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .

Найдем влияние каждого из данных факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:

Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)

Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:

Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)

Наконец, для того, ɥᴛᴏбы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:

Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)

Исходя из всего выше сказанного, мы приходим к выводу, что общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.

При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.

Метод дифференциального исчисления

При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из кᴏᴛᴏᴩых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по кᴏᴛᴏᴩой определена эта производная. Уместно отметить, что определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.

Задана функция Z = f(x,y) . В случае если эта функция будет дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:

Поясним отдельные элементы ϶ᴛᴏй формулы:

ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;

Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;

Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;

- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем

В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:

ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.

Сумма влияния обоих данных факторов — ϶ᴛᴏ главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.

Способ долевого участия

В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит по сути в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.

Будем исходить из предположения того, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:

Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy

Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:

Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy

Наконец, для фактора с имеем:

Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy

Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.

Метод линейного программирования

См.далее: Метод линейного программирования

Отметим, что теория массового обслуживания

См.далее: Отметим, что теория массового обслуживания

Отметим, что теория игр

Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Отметим, что теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда ᴏᴛʜᴏϲᴙтся такие ситуации, кᴏᴛᴏᴩые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.

Для решения подобных задач в теории игр могут быть использованы алгебраические методы, кᴏᴛᴏᴩые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.

Важно заметить, что одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, будет так называемый анализ чувствительности. Материал опубликован на http://сайт
Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.

Для оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации крайне важно заранее предусматривать те изменения, кᴏᴛᴏᴩые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.

К примеру, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, кᴏᴛᴏᴩые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.

Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель, изменится.

Вот к примеру, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж.
Стоит отметить, что остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, будут при ϶ᴛᴏм неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на ϶ᴛᴏт показатель.

Матричный метод

Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также матричные методы . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.

Метод сетевого планирования

См.далее: Метод сетевого планирования

Экстраполяционный анализ

Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Стоит заметить, что он содержит в себе рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик ϶ᴛᴏй системы на будущие периоды. В процессе осуществления ϶ᴛᴏго вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров данных функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.

В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Стоит заметить, что они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, кᴏᴛᴏᴩые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.

Пользовательское соглашение:
Интеллектуальные права на материал - Математические методы в экономике принадлежат её автору. Данное пособие/книга размещена исключительно для ознакомительных целей без вовлечения в коммерческий оборот. Вся информация (в том числе и "Экономико-математические методы и модели анализа") собрана из открытых источников, либо добавлена пользователями на безвозмездной основе.
Для полноценного использования размещённой информации Администрация проекта сайт настоятельно рекомендует приобрести книгу / пособие Математические методы в экономике в любом онлайн-магазине.

Тег-блок: Математические методы в экономике, 2015. Экономико-математические методы и модели анализа.

(С) Юридический репозиторий сайт 2011-2016